1、向量n个数构成的有序数组分为行向量和列向量。内积记作这里的a是列向量正交 当 0 时称a,b是正交向量A是由多个列向量组成如果等于那么称A叫做n阶正交矩阵并且这些列向量为标准或单位正交向量组也叫规范正交基。这个正交矩阵乘上一个向量相当于把这个向量旋转。2、向量组2.1、线性相关对于m个n维向量若存在一组不全为零的使得则称向量组线性相关判别线性相关的定理①如果一个多的向量组可以由一个少的向量组线性表示那么这个多的向量组一定是线性相关的②线性相关说明x有非零解根据克拉默法则推出系数矩阵行列式为0线性无关说明x只有零解根据克拉默法则推出系数矩阵行列式不为0。判断向量的个数和方程的个数如果向量个数多于方程个数那么一定线性相关③向量可由向量组线性表示则非其次线性方程组有解则一个矩阵乘上一个可逆矩阵它的秩不变。2.2、极大线性无关组简单说就是一批向量组中取出一批线性无关的同时原向量组中的任意向量都可以由这一批线性无关的向量线性表示。矩阵的分解重点对于一个矩阵 我们可以把它分解成为AB两个矩阵相乘A矩阵为原矩阵的极大线性无关列向量组成的B矩阵的列向量为表示原矩阵需要的系数。例如、2.3、等价向量组两组向量可以互相表示两个秩相等。两组向量组的秩相等不一定能得到两组向量是等价的。例如1,0和0,1它们不能互相表示。3、有关秩的重要定理和公式①三秩相等矩阵的秩行秩列秩②A矩阵经过初等行变换为B,两个行向量组是等价向量组同时A和B任何相应部分的列向量具有相同的线性相关性。4、关于矩阵的一些秩不等式的证明①证明把B矩阵行分块得到AB向量组可以由B向量组线性表示进而推出再把AB转置一下同理得到②证明由于AB可以由A|B线性表示所以后式显而易见。③则证明是两个解是解的维度因为B是解空间中的部分所以④第一种情况A如果是满秩的那么A是可逆的则也是可逆的所以也是满秩。第二种情况伴随矩阵不为零矩阵所以秩为1第三种情况A的n-1阶子式全为零所以是0矩阵。5、向量空间仅数一①基本概念n个线性无关的向量是为向量空间的一个基是向量空间的维数而称为向量在基下的坐标。②基变换、坐标变换C称为过度矩阵。③规范正交基根据已知的线性无关的向量组求出单位正交向量组6、额外的知识总结①如果(列满秩),则。同理如果右乘一个行满秩矩阵矩阵的秩也不变。一个矩阵分解为极大线性无关组乘上一个系数矩阵系数矩阵的秩就是原来矩阵的秩。②把正交化为