概率论：二维随机变量

目录一、二维随机变量分布函数的定义与性质1联合分布函数函数及其几何意义2联合分布函数的性质3二维离散型随机变量4二维连续型随机变量二、边缘分布1边缘分布的定义2离散型的边缘分布列3连续型的边缘密度函数三、条件分布1离散型的条件分布列2连续型的条件密度函数四、随机变量的独立性二维随机变量是概率论中从单变量走到多变量的关键一步它将单随机变量的线性特征转变成为两个随机变量的面特征。一、二维随机变量分布函数的定义与性质1联合分布函数函数及其几何意义在一维随机变量中我们是用一重积分变上限积分来表示他的分布函数的我们可以理解成一根绳子沿着X轴方向从-∞到∞的延伸其中分布函数就是线密度于是我们沿着x轴这个路径积分就得到了绳子的总质量1。而在二重积分中概率密度函数从线密度升维成了面密度即沿着X、Y轴方向都有概率的分布于是我们只需要求出整个面的质量即联合分布函数。用数学表达即为二重积分。2联合分布函数的性质联合分布函数有以下几条性质基本都和之前一维随机变量的性质是完全相同的。1.非负性与有界性对任意实数x、y恒有2.单调不减性扩展为对X、Y分别的单调不减性质3.规范性二维点落在无穷远的概率为0落在平面上的概率为14.右连续性台阶性质左连续性没写是因为在离散型的分界点处不成立。3二维离散型随机变量4二维连续型随机变量二、边缘分布变缘分布描述的是二维随机变量中单个变量自身的分布规律相当于把另外一个变量的所有可能值合并起来看如何对该随机变量的概率产生影响。在离散型随机变量中即为分布列表格而在连续型随机变量中即为分布函数。1边缘分布的定义关于X的边缘分布函数就是令Y取值到他的所有情况然后得到的关于X的分布概率。下图是我们学习二重积分时候的理解所以在现在边缘分布中仍然可以如上理解。对X求边缘分布函数即定X穿Y先把X当做一个常数求出每一根筷子的重量最后将筷子的重量坍塌汇聚到一点即变为了线密度。从而化为一维积分求解。关于Y的边缘分布定义也是类似的只不过换为了定Y穿X而已。2离散型的边缘分布列3连续型的边缘密度函数基于刚刚的维度坍塌的角度分析我们可以分别求出X型、Y型的边缘密度函数。它其实就是把二重积分的两步积分拆分出来的一部分成为连续型的边缘密度函数。三、条件分布所谓条件分布其实就是套用了条件概率的公式而已。只不过这里把同时发生的概率升级成了联合密度把单独一个发生的概率变成了边缘密度函数。而条件分布真正的作用就是缩小样本空间。1离散型的条件分布列离散型的条件分布列求解本质上也得从分布表格中观察得到直接带入上述公式即可。2连续型的条件密度函数连续型的条件密度说白了就是先用前面的边缘分布公式得到分母然后再由题目直接给出的共同发生的概率函数套入分子即可。四、随机变量的独立性我们前面说二维随机变量可以看做一个平面的质量求解而如果这两个随机变量是独立的则在X方向和Y方向上的线密度是独立、无关的即X方向上的线密度仅仅与X相关Y方向上的线密度仅仅与Y相关不包含对方的变量表达式。他们共同构成了面密度。对于离散型随机变量X、Y独立的条件是对于所有的i、j都有通常会有一个特殊结论离散型是表格表示的概率于是只要独立则任意两行、或者两列都是成比例的可以用来快速填写表格等题目。而对于连续型随机变量X、Y独立的条件是任意一个点上都满足联合密度边缘密度的乘积。